Herleitung Einheitsvektoren

17.04.2010
Einheitsvektoren werden aus dem Ortsvektor gewonnen. Das generelle Verfahren ist recht simpel, kann aber viel Schreibarbeit werden:

Ein Beispiel: Kugelkoordinaten

Der Ortsvektor lautet \vec{r} = r\begin{pmatrix}\sin\theta\cos\varphi\\\sin\theta\sin\varphi\\\cos\theta\end{pmatrix} Bestimmung der partiellen Ableitungen: \frac{\partial \vec{r}}{\partial r} = \begin{pmatrix}\sin\theta\cos\varphi\\\sin\theta\sin\varphi\\\cos\theta\end{pmatrix} \Rightarrow \left|\frac{\partial \vec{r}}{\partial r}\right| = \sqrt{\sin^2\theta\cos^2\varphi+\sin^2\theta\sin^2\varphi+\cos^2\theta} =1
\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} = r\begin{pmatrix}\cos\theta\cos\varphi\\\cos\theta\sin\varphi\\-\sin\theta\end{pmatrix} \Rightarrow \left|\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta}\right| = \sqrt{r^2(\cos^2\theta\cos^2\varphi+\cos^2\theta\sin^2\varphi+\sin^2\theta)} = r
\frac{\partial \vec{r}}{\partial \varphi} = r\begin{pmatrix}-\sin\theta\sin\varphi\\\sin\theta\cos\varphi\\0\end{pmatrix}\Rightarrow \left|\frac{\partial \vec{r}}{\partial \varphi}\right| = \sqrt{r^2(sin^2\theta\sin^2\varphi+sin^2\theta\cos^2\varphi)} = r\sin\theta Für die Zusammenfassungen wurde der trigonometrische Pythagoras verwendet. Nun müssen die partiellen Ableitungen noch normiert werden, also durch ihren Betrag geteilt werden: \vec{e}_r=\begin{pmatrix}\sin\theta\cos\varphi\\\sin\theta\sin\varphi\\\cos\theta\end{pmatrix} \quad \vec{e}_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta\cos\varphi\\\cos\theta\sin\varphi\\-\sin\theta \end{pmatrix}\quad \vec{e}_\varphi =\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\\cos\varphi\\0\end{pmatrix}