Orthogonalität des Produktes zweier Sinus-Funktionen

10.06.2010

Behauptung

$\int_0^L\ \sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\sin\left(\frac{m\pi}{L}x\right)dx=\frac{L}{2}\delta_{mn}$ mit dem Kroneckerdelta.

Beweisidee

Eine zweifache partielle Integration führt das Integral auf sich selbst zurück. Vertauscht man bei einer der beiden Integrationen den Integranden, erhält man einen aus m und n bestehenden Vorfaktor, aus dem die obige Behauptung folgt.

Beweis

$\int_0^Ldx\ \sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\left(\frac{m\pi}{L}x\right)dx$ Partielle Integration führt auf $\left[-\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\frac{L}{m\pi}\cos\left(\frac{m\pi}{L}x\right)\right]^L_0-\int^L_0-\frac{L}{m\pi}\cos\left(\frac{m\pi}{L}x\right)\frac{n\pi}{L}\cos\left(\frac{n\pi}{L}x\right)dx$ Das lässt sich vereinfachen $\frac{n}{m}\int^L_0\cos\left(\frac{m\pi}{L}x\right)\cos\left(\frac{n\pi}{L}x\right)dx$ Erneute partielle Integration mit diesmal jedoch vertauschen Integranden führt auf $\frac{n}{m}\left[\left[\cos\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\frac{L}{m\pi}\sin\left(\frac{m\pi}{L}x\right)\right]_0^L-\int^L_0-\frac{L}{m\pi}\sin\left(\frac{m\pi}{L}x\right)\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\frac{n\pi}{L}dx\right]$ Auch dieser Ausdruck lässt sich zusammenfassen $\frac{n}{m}\int_0^Ldx\ \sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\left(\frac{m\pi}{L}x\right)dx$ Für die natürlichen Zahlen $n,m\neq 0$ gilt das nur, wenn das Integral Null ist, oder wenn $n=m$ . Damit ist das Integral für $n\neq m$ Null, was den ersten Fall des Kroneckerdeltas belegt. Für $n=m$ kann das Ausgangsintegral vereinfacht werden $\int_0^Ldx\ \sin^2\left(\frac{n\pi}{L}x\right)dx$ Durch Substitution erhält man $\left[\frac{x}{2}-\frac{L\sin(2\frac{n\pi}{L}x}{2n\pi}\right]_0^L=\frac{L}{2}$ Damit ist auch der zweite Teil für das Kroneckerdelta bewiesen.