Umkehrregel: Herleitung

07.12.2009
Eine recht praktische Regel bei der Differenzierung von Funktionen ist die Umkehrregel, mit der die Ableitung einer Funktion bestimmt werden kann, bei der nur die Ableitung der Umkehrfunktion bekannt ist. Hier die kurze Herleitung, mit der man sich die Regel besser merken kann. Wird die Umkehrfunktion auf die Funktion selbst angewendet, ergibt sich der ursprüngliche Wert: $\bar f(f(x)) = x$ Bildet man die Ableitung davon, ist auf der linken Seite der Gleichung die Kettenregel anzuwenden: $\bar f'(f(x)) \cdot f'(x)=1$ Umstellen nach $f'(x)$ ergibt die Umkehrregel: $f'(x)=\frac{1}{\bar f'(f(x))}$ Wichtig: in die Ableitung der Umkehrfunktion im Nenner $\bar f'$ muss unbedingt auch die Funktion $f(x)$ eingesetzt werden. Beispiel: Gesucht ist die Ableitung von $\arcsin x$ : $\frac{d}{dx}\arcsin(x)=\frac{1}{\cos(\arcsin(x))}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(x))}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$